2. Aufgabenblatt Holub

So, hab mal die Ergebnisse zur Aufgabe 1:

a)
x* = y* = lambda* = 0,5^0,5
Z* = 2*0,5^0,5

b)
x* = y* = z* = 0,5
lambda* = 1
Z* = 1,5

Komisch, dass immer die gleichen Zahlen rauskommen, aber ich habs zig-mal nachgerechnet und das muß so passen glaub ich.

Aufgabe 2 ist mir momentan noch ziemlich unklar.

EDIT um 03:45 Uhr: ich glaub ich habs jetzt mal ungefähr, wahnsinn war das aufwendig. :shock:

Aufgabe 2:
x* = y* = z* = 20
lambda* = 1/30
Z* = 8,834

Determinante der Hesse-Matrix: -0,06225 somit <0 und damit negative definit, der Wert Z* = 8,834 ist ein Minimum.

Die Determinante der 4x4 Matrize hab ich mir über eine Webseite errechnen lassen, manuell mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz braucht man dafür alleine ja schon mindestens eine Stunde, und eine schnellere Methode per Hand kenn ich nicht.

Gute Nacht :sleeping:

Zitat:

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Zitat von Corle

Determinante der Hesse-Matrix: -0,06225 somit <0 und damit negative definit, der Wert Z* = 8,834 ist ein Minimum.

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Ups, da ist ein Fehler in den Beispielen im Chiang Buch. Bei <0 ist es ein lokales Maximum.

Zitat:

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Zitat von Corle

Aufgabe 2:
x* = y* = z* = 20
lambda* = 1/30
Z* = 8,834

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Und noch ein Rechenfehler von mir Z* = 20 und nicht 8,834

Servus,
Ich sag' jetzt nichts zu deinen Mathe-Aufgabenzettel-Rechenzeiten :razz:

Zitat:

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Zitat von Corle

Die Determinante der 4x4 Matrize hab ich mir über eine Webseite errechnen lassen, manuell mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz braucht man dafür alleine ja schon mindestens eine Stunde, und eine schnellere Methode per Hand kenn ich nicht.

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Bitte schreib' doch die URL rein, ich will das auch nicht per Hand rechnen :cool:

Du kannst es natürlich per TI-84 oder ähnlichem auch berechnen lassen, meiner hat leider seit geraumer Zeit keine Batterien mehr, deshalb per Web.

Ich habs hier eingegeben:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/s...erminanten.htm

Noch ne Anmerkung weil ich echt viel Zeit dafür versch... äh verbraucht habe. Im Chiang Skriptum steht ja was vom Anwenden der Cramerschen Regel bei den Beispielen für Lagrange. Ich hab die auch nicht gekannt, deshalb hab ich mir diese mal einverleibt. Es geht dabei um nichts anderes als um die Ermittlung der Variablen in Gleichungen mit mehreren Unbekannten, wie es bei Lagrange der Fall ist. Macht es besser mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren oder eben dem was ihr könnt - es zahlt sich meiner Meinung nach nicht aus, die Cramersche Regel anzuwenden. Könnte mir höchstens vorstellen, dass sie bei wirklich aufwendigen Gleichungen was bringt. In dem Falle hier braucht man um etliches Länger mit dem Verfahren und man muß sich mit den Matrizen herumschlagen.

Zitat dazu aus einem anderen Mathe Forum :twisted:

Zitat:

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die Cramersche Regel ist wohl eine der hässlichsten Lösungsmöglichkeit für LGS.

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Ich hab bei der 2. Aufgabe das selbe rausbekommen wie du... jedoch habe ich mit Ti und Lagrange gearbeitet... jetzt habe ich das Problem dass ich zwar den Punkt weiß aber keine Ahnung hab was für ein Extrema das ist? Wie kann man das nachprüfen, durch die 2 Ableitung?

Bis zu dem Punkt kannst ja auch noch nicht anders.

Jetzt machst von allen den Ableitungen x,y,z jeweils gemischt partielle Ableitungen 2. Grades. Sprich Zxx, Zxy, Zxz, usw...

Die Werte setzt in die Hesse-Matrize ein, errechnest dir den Determinanten. Damit weißt dann welcher Extremwert das ist.

hi

wie löst ihr denn dieses gleichungssystem mit den ganzen hochzahlen
irgendwie mit taschenrechner
oder geht das nur händisch?
ober hab ich falsch abgeleitet

Ux = 1/6x^(-5/6) * y^(1/3) * z^(1/2) - 5lambda = 0
Uy = 1/3y^(-2/3) * x^(1/6) * z^(1/2) - 10lambda = 0
Uz = 1/2z^(-1/2) * x^(1/6) * y^(1/3) - 15lambda = 0
Ulambda = 600 - 5x - 10y -15z = 0

An Corle oder andere,

wenn man die 4 gleichungen hat (1. Grades) wie gehts weiter??

Hab versucht auf x, y z zu kommen aber es geht nicht??

Ciao Bägga

Zitat:

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Zitat von csag5241

hi

wie löst ihr denn dieses gleichungssystem mit den ganzen hochzahlen
irgendwie mit taschenrechner
oder geht das nur händisch?
ober hab ich falsch abgeleitet

Ux = 1/6x^(-5/6) * y^(1/3) * z^(1/2) - 5lambda = 0
Uy = 1/3y^(-2/3) * x^(1/6) * z^(1/2) - 10lambda = 0
Uz = 1/2z^(-1/2) * x^(1/6) * y^(1/3) - 15lambda = 0
Ulambda = 600 - 5x - 10y -15z = 0

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Wenn du die ersten 2 Gleichungen auf lambda umformst und danach gleichsetzt siehst du dass du z^(1/2) und das 1/30 kürzen kannst. Wenn du so weit bist musst du nurnoch wissen dass die negativen Exponenten untern Bruchstrich gehören.
-> y^(1/3) / x^(5/6) = x^(1/6) / y^(2/3)
y^(1/3) * y^(2/3) = x^(1/6) * x^(5/6)
y = x
wenn du das dann ausmultiplizierst kommst du drauf dass x=y ist.
Das selbe Spiel machst du mit der 2 und 3 weil sich da das x rauskürzen lässt. Da kommst du dann zum Ergebnis dass z=y. Wenn du dann soweit bist siehst du deutlich dass x=y=z ist.
So das wars eigentlich.
Hoffe es hat geholfen ^^
Lg Nova

Die Gleichungen vereinfachen (und lösen) was geht (Eliminationsverfahren). Am besten Uy * 1/Ux da es sich anbietet (@csag5241 -> lambdas auf die rechte Seite bringen, dann siehst es eh sofort) und alles rauskürzen und die Exponenten soweit wie möglich ausrechnen ("Potenzen werden dividiert indem man ihre Exponenten subtrahiert" ;) )

Dasselbe dann für Uz * 1/Ux. Danach sollten die Variablen SEHR leicht zum ermitteln sein ;)

Ups, hab nicht gesehen das Nachos schon gepostet hat. Zumindest haben wir beide unterschiedliche Lösungsverfahren beschrieben.