Hausübung 5 PS Beck

Hallo Zusammen
ich bräuchte für Aufgabe 4 des Hausübungblattes 5 eure Hilfe.

bei a) hab ich die Ergebnisse wie folgt: Q=90-2P --> P=45-0,5Q
Die Reaktionsfunktion von Q2
Q2= P*Q-C wobei C=AC*Q2 ist
dann kommt für Q2=40-0,5Q1 raus und setze dies dann in die Gewinnfunktion von Q1 ein und erhalte für Q1=40 und für Q1=10! Für den Preis erhalte ich dann P=15!

Bei b) brauche ich dann bitte Hilfe: Ich hätte dann Q=90-2P in die Gewinnfunktion einsezten und dann nach P auflösen:
Pi= Q*P-AC*Q
Pi= (90-2P)*P-5*(90-2P) -> ausmultiplizieren, ableiten, null setzen
P=10

Stimmt das soweit? Aber wie komme ich dann auf die Gleichtgewichtsmengen?

Danke für eure Hilfe

Grüße
Andi

Servus Andi!

zu HÜ Aufgabe 4 a:

Q1=40, Q2=20, P=15

Falls es kein Tippfehler war, hier die Richtigstellung:

Stackelberg Modell:

Um den Gewinn von Unternehmen U1 zu maximieren musst du dessen Grenzerlöse mit den Grenzkosten gleichsetzen --> MR1 = MC1

MR1 = d(P*Q1)/dQ1 = d((45-0,5Q)*Q1)/dQ1 = d(((45-0,5*(Q1+Q2))*Q1)/dQ1

Da in den Grenzerlösen MR1 Q2 vorkommt (weil Q=Q1+Q2), musst du die Reaktionskurve Q2(Q1) zuerst ausrechnen um einsetzen zu können.

Die Reaktionskurve Q2 erhälst du indem du den Gewinn vom Unternehmen U2 maximierst. Das heisst Pi_2 nach Q2 ableiten und dann auf 0 setzen:

dPi_2/dQ2 = d((P-MC)*Q2)/dQ2 = 0 oder auch so: d((P*Q2) - 5Q)/dQ2 = 0

Für P setzt du P=45-0,5*Q ein, aber vorher noch für dieses Q: Q=Q1+Q2 ein, für MC=5, bei der zweiten Variante sind 5Q die Kosten C! Weil wenn die Grenzkosten (C abgeleitet) 5 sind, müssen die Kosten (MC integriert) 5 Q sein. Egal welche Variante du nimmst, nach dem ableiten ist wieder alles gleich!

Ausgerechnet, abgeleitet, auf 0 gesetzt und auf Q2 umgestellt ergibt sich die Reaktionskurve Q2 von Q1: Q2=40-0,5Q1

Diese setzt du jetzt oben für Q2 in MR1 ein, dann kommt raus
MR1=45-Q1-20+0,5Q1

Jetzt setzt du MR1 = MC1=5 --> das Ergebnis: Q1 = 40

Setzt du nun diese 40 für Q1 in die Reaktionskurve Q2=40-0,5Q1 ein, ergibt sich die Menge Q2=20

Für P setzt du einfach Q1 und Q2 in die Inverse Nachfragefkt. ein: P=45-0,5Q = 45-05*(Q1+Q2) = 15


ZU AUFGABE 4b:

Ich habe auch lange überlegt ... :-)

Dann kam mir die Idee, dass der Sinn von Preisabsprache zwischen 2 Konkurrenten nur der sein kann, dass der Gesamtgewinn maximiert wird.

Pi --> max .... also Pi ableiten und auf 0 setzen um den Grenzwert zu finden!

dPi_ges/dQ_ges = 0 (Gesamt, also Q1+Q2=Qges)

Pi = P*Q - C = (45-0,5Q)*Q - 5Q

Wie oben erwähnt sind die Kosten C = 5Q, wenn dessen Ableitung MC=5 ist!

Q reinmultiplizieren u. dann nach Q ableiten ergibt: dPi/dQ = 45 - Q - 5

Jetzt auf 0 setzen und Q=40! Dieses Q in P=45-0,5Q eingesetzt ergibt P=25!

Da dieses Q aber Q_ges ist, würde ich sagen, dass der Gesamtgewinn von 800 (Pi=P*Q-C=P*Q-5Q=25*40-5*40=800) auf beide Unternehmen aufgeteilt wird.

Also Pi_1 = 400 und Pi_2 = 400

Ich vermute auch, dass das ein Nashgleichgewicht ist, denn sollte eines der beiden Unternehmen seine Produktionsmenge erhöhen, würde wegen der Marktnachfragefkt der Preis fallen und sollte jemand den Preis ändern würde sich die Nachfrage dementsprechend ändern, sodass die Gewinne maximal gleich bleiben können oder sogar weniger werden ...

lg Klaus