zusätzliches lagrange-beispiel

[csaf7568]

hier noch ein zusätzliches bsp. zur lagrange funktion (haben wir von unserem PS leiter erhalten):

Die kleine Maria gibt Ihr gesamtes Geld entweder für Schuhe oder Süßigkeiten aus. Sie hat insgesamt 90 Euro angespart. Ein paar Schuhe kosten 18 Euro, eine Packung Süßigkeiten kostet 2 Euro. Die Nutzenfunktion von Maria sieht wie folgt aus (x = Schuhe, y = Süßigkeiten).

U(x,y) = 0.5 x³ y²

Wie viele Paar Schuhe bzw. wie viele Süßigkeiten wird Maria anschaffen, um Ihren Nutzen zu maximieren?

ich hab folgende ansätze - komm aber dann nicht mehr weiter (die angegebene lösung kann ich leider nicht nachvollziehen):

1) Lagrange Funktion
L= 0,5*x^3*y^2 +lambda(18x+2y-1

2) Ableitungen
abl nach x: 1,5*x^2*y^2+lambda*18=0
abl nach y: x^2*2*y+lambda*4=0
abl nach lambda: 18x+2y-18=0

3) jetzt muss ich theoretisch die abl nach x und y das lambda freistellen und dann gleichsetzen --> ergebnis dann in die 3 ableitung einsetzen! aber praktisch scheitere ich leider!!

könnte mir vielleicht jemand helfen?
DANKE!

[83stal]

Hallo!

Zuerst check nochmal bitte deine Ableitungen. Bei der Ableitung nach y hast du einen Fehler gemacht, die anderen Ableitunen stimmen. Es müsste als Ableitung nach y herauskommen:
0,5*x^3*2*y - lambda*2 = x^3*y - lambda*2 = 0
Ach ja, und bei der Lagrange-Funktion ein kleiner Fehler, Minus der Nebenbedingung, du hast Plus...

Du stellst das lambda frei, indem du die Terme mit lambda [18*lambda sowie 2*lambda (nicht 4*lambda, wenn richtig abgeleitet)] auf die rechte Seite der Gleichungen bringst und schaust, zum Beispiel in beiden Gleichungen dann entsprechend zu multiplizieren, damit dann dasselbe auf der rechten Seite steht.
Hier reicht es aus, die zweite Gleichung mit 9 zu multiplizieren, dann steht in beiden Gleichungen 18*lambda auf der rechten Seite, sodass du die Linken Seiten dann gleichsetzen darfst..

Hoffe es leuchtet ein.
lg

[csag3123]

Darf ich euch mal fragen, wieso bei euch die Nebenbedingung 18x+2y-18 heißt?
Wie kommt ihr auf -18 zum Schluss??
Lg

[83stal]

Stimmt, sorry, hab ich übersehen, müsste natürlich 90 (Einkommen) sein. Ich würde ohnehin nicht gleich schon die Zahlen einsetzen, sondern soweits Sinn macht die Buchstaben I, Px, etc. drinnen behalten

[csag3123]

Ja danke so hab ichs dann auch!
Lg

[ChickenFly]

hi!

ich versuch solche beispiele erst mal (meiner meinung nach) einfacher und schneller:

MUx/MUy=Px/Py
1,5*x^2*y^2/x^3*y=18/2
dann kürzt sich das meiste schon weg und übrig bleibt:
1,5y/x=9
y=6x

Das dann eingesetzt in die budgetbeschränkung:
90=18x+12x
x=3
y=18

[chrisse1986]

Komme auch auf x=3 und y=18

U= 4374 maximiert !

Denke das stimmt so !

lg

[PhIst]

Komme auch auf x=3 und y=18

U= 4374 maximiert !

Denke das stimmt so !

lg

bekomm das gleiche raus ...

[dahri]

Hallo!

Zuerst check nochmal bitte deine Ableitungen. Bei der Ableitung nach y hast du einen Fehler gemacht, die anderen Ableitunen stimmen. Es müsste als Ableitung nach y herauskommen:
0,5*x^3*2*y - lambda*2 = x^3*y - lambda*2 = 0
Ach ja, und bei der Lagrange-Funktion ein kleiner Fehler, Minus der Nebenbedingung, du hast Plus...

Du stellst das lambda frei, indem du die Terme mit lambda [18*lambda sowie 2*lambda (nicht 4*lambda, wenn richtig abgeleitet)] auf die rechte Seite der Gleichungen bringst und schaust, zum Beispiel in beiden Gleichungen dann entsprechend zu multiplizieren, damit dann dasselbe auf der rechten Seite steht.
Hier reicht es aus, die zweite Gleichung mit 9 zu multiplizieren, dann steht in beiden Gleichungen 18*lambda auf der rechten Seite, sodass du die Linken Seiten dann gleichsetzen darfst..

Hoffe es leuchtet ein.
lg

Ergebnis hab ich auch! Und noch was: es ist egal ob du - Lambda oder + Lambda machst! Schlussendlich bleibt das Preisverhältnis rechts stehen, also so wie csag7937 das gemacht hat wärs am schnellsten!